Question

如图所示，小球沿光滑的水平面冲上一个光滑的半圆形轨道，已知轨道的半径为R，小球到达轨道的最高点时对

如图所示，小球沿光滑的水平面冲上一个光滑的半圆形轨道，已知轨道的半径为R，小球到达轨道的最高点时对轨道的压力大小恰等于小球的重力．请求出（1）小球过最高点时的速度为多大？（2）小球过半圆形轨道最低点A时的速度为多大？（3）小球落地时距离A点多远？速度又为多大？

Answer 1

（1）由题意可知 在最高点小球的向心力为  F_向=N+mg=2mg
 又F_向=m

v2

R

即2mg=m

v2

R

解得 v=

2gR

（2）小球从A运动到最高点的过程中，只有重力做功，所以小球机械能守恒．
取A点所在平面为零势能面，有E₁=E₂
即：

1

2

mv²+mg?2R=

1

2

mv_A²  
解得 v_A=

6gR

（3）小球离开轨道做平抛运动  h=2R=

1

2

gt² 即 t=2

R g

水平距离 S=vt=

2gR

?2

R g

=2

2

R           
因为小球运动过程中机械能守恒，所以落地点的机械能与A点相同
又因为落地点与A点在同一水平面上，所以落地时速度大小 v′=v_A=

6gR

答：
（1）小球过最高点时的速度为

2gR

．
（2）小球过半圆形轨道最低点A时的速度为

6gR

．
（3）小球落地时距离A点的距离为2

2

R，速度又为

6gR

．