Question

已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+

已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：f(x1)?f(x2)x1?x2＞2x2x21+x22．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx，
∴g（x）=f（x+1）-x=ln（x+1）-x，x＞-1，
∴g′(x)＝

1

x+1

?1＝

?x

x+1

．
当x∈（-1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．
（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，
∴

a≥ lnx x a≤x+ 1 x

在x＞0上恒成立，
进一步转化为(

lnx

x

)max≤a≤(x+

1

x

)min，
设h（x）=

lnx

x

，则h′(x)＝

1?lnx

x2

，
当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）≤

1

e

．
要使f（x）≤ax恒成立，必须a≥

1

e

．
另一方面，当x＞0时，x+

1

x

≥2，
要使ax≤x²+1恒成立，必须a≤2，
∴满足条件的a的取值范围是[

1

e

，2]．
（3）当x₁＞x₂＞0时，

f(x1)?f(x2)

x1?x2

＞

2x2

x 2 1 + x 2 2

等价于ln

x1

x2

＞

2? x1 x2 ?2

( x1 x2 )2+1

 ．
令t=

x1

x2

，设u（t）=lnt-

2t?2

t2+1

，t＞1
则u′(t)＝

(t2?1)(t+1)2

t(t2+1)2

＞0，
∴u（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴u（t）＞u（1）=0，
∴

f(x1)?f(x2)

x1?x2

＞

2x2

x 2 1 + x 2 2

．