Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1＝2，D、M、N分别是AB、AA1、BC1的中点．（1）

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1＝2，D、M、N分别是AB、AA1、BC1的中点．（1）求证：MN∥平面ABC；（2）求证：CD⊥平面AA1B1B；（3）试在BB1上求一点F，使A1B⊥平面C1DF，证明你的结论．

Answer 1

解答：证明：（1）取BC中点G，连NG、AG，
∵N是BC₁的中点，G是BC的中点，
∴NG∥CC₁，且NG=

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CC1；又M是AA₁的中点，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴MA∥CC₁，且MA=

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CC1．
∴MA∥NG且MA=NG，
∴MAGN是平行四边形，
∴MN∥AG．…（3分）
又AG?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC．  …（5分）
（2）∵AC=BC=1，D是的中点，∴CD⊥AB．又ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴平面AA₁B₁B⊥平面ABC，
∵CD?平面ABC，平面AA₁B₁B∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面AA₁B₁B．…（9分）
（3）作DE⊥A₁B交A₁B于E，延长DE交B₁B于F，连接CF，不难证明A₁B⊥平面C₁DF，点F即为所求．…（12分）
事实上，∵CD⊥平面AA₁B₁B，A₁B?平面AA₁B₁B，
∴A₁B⊥CD，
又A₁B⊥DF，CD∩DF=D，
∴A₁B⊥平面C₁DF．…（14分）