Question

设函数f(x)=(x-a)²/x

设函数f(x)=(x-a)²/x(1)证明：0<a<1是函数f(x)在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件；(2)若x属于(-∞,0)时，满足f(x)<2a²-6恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

f(x)=x(x-1)(x-a)=x³-(a+1)x²+a²x
的两个不同的极值点为x1、x2
--->f'(x)=3x²-2(a+1)x+a²=0的两不等根为x1、x2
--->δ=4(a+1)²-12a²＞0
--->2a²-2a-1＜0--->(1-√3)/2＜a＜(1+√3)/2
........（*）
又：x1+x2=2(a+1)/3,
x1x2=a²/3
f(x1)+f(x2)
=(x1³+x2³)-(a+1)(x1²+x2²)+a²(x1+x2)
=(x1+x2)³-3x1x2(x1+x2)-(a+1)(x1+x2)²+2(a+1)x1x2+a²(x1+x2)
=8(a+1)³/27-2a²(a+1)/3-4(a+1)³/9+2(a+1)a²/3+2a²(a+1)/3
=-4(a+1)³/27+2a²(a+1)/3
=2(a+1)[9a²-2(a+1)²]/27
=2(a+1)(7a²-4a-2)
≤
0
--->a≤-1或(2-3√2)/7≤a≤(2+3√2)/7
与(*)求交集：(2-3√2)/7≤a≤(2+3√2)/7