Question

球表面积20π,球面上有A,B,C三个点,AB=AC=BC=2√3,则球心到平面ABC的距离为

Answer 1

假设O为球心，R为球半径，球表面积=4πR^2=20π，可知球半径R=√5

于是问题归结为求一个三棱锥O-ABC的高，这个三棱锥的底是边长为2√3的等边三角形，三条棱均为√5。

从三棱锥顶点向三棱锥的底引垂线，设垂足为D，易知D为ΔABC的垂心/重心/外心（三心合一），DA=(AB/2)×（√3/2）×2/3=2

于是根据勾股定理，该三棱锥的高的平方=OA^2-DA^2=（√5）^2-2^2=1，该三棱锥的高=1

球心到平面ABC的距离=该三棱锥的高=1

附图一张：