Question

已知抛物线y=ax 2 +bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C。（1）求抛物线y=ax 2 +b

已知抛物线y=ax 2 +bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C。（1）求抛物线y=ax 2 +bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标。

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax 2 +bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点， ∴ ， 解得： ， ∴ ； ∴点C的坐标为：（0，3）；
（2）当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°， ∵A（3，0），B（4，1）， ∴AM=BM=1， ∴∠BAM=45°， ∴∠DAO=45°， ∴AO=DO， ∵A点坐标为（3，0）， ∴D点的坐标为：（0，3）， ∴直线AD解析式为：y=kx+b， 将A，D分别代入得： ∴0=3k+b，b=3， ∴k=-1， ∴y=-x+3， ∴ =-x+3， ∴x 2 -3x=0， 解得：x=0或3， ∴y=3或0（不合题意舍去）， ∴P点坐标为（0，3）， 当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°， 由（1）得，FB=4，∠FBA=45°， ∴∠DBF=45°，∴DF=4， ∴D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1）， ∴直线AD解析式为：y=kx+b， 将B，D分别代入得： ∴1=4k+b，b=5， ∴k=-1， ∴y=-x+5， ∴ =-x+5， ∴x 2 -3x-4=0， 解得：x 1 =-1，x 2 =4， ∴y 1 =6，y 2 =1， ∴P点坐标为（-1，6），（4，-1）， ∴点P的坐标为：（-1，6），（4，-1），（0，3）；
（3）作EM⊥BO， ∵当OE∥AB时，△FEO面积最小， ∴∠EOM=45°， ∴MO=EM， ∵E在直线CA上， ∴E点坐标为（x，-x+3）， ∴x=-x+3，解得：x= ， ∴E点坐标为（ ， ）。