Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若 AB ?

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若 AB ? BC =- 3 2 ，且 b= 3 ，求a+c的值；（2）若存在实数m，使得2sinA-sinC=m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵A、B、C成等差数列， ∴2B=A+C，结合A+B+C=π，可得 B= π 3 ， ∵ AB ? BC =- 3 2 ，得 c?acos 2π 3 =- 3 2 ， ∴ac=3． ① 由余弦定理，得 b 2 = a 2 + c 2 -2accos π 3 ， ∴3=a 2 +c 2 -ac，可得a 2 +c 2 =3+ac=6．  由此联解①、②，得 a+c=2 3 ． （2）2sinA-sinC= 2sinA-sin( 2π 3 -A) = 2sinA-( 3 2 cosA+ 1 2 sinA) = 3 2 sinA- 3 2 cosA= 3 sin(A- π 6 ) ， ∵ 0＜A＜ 2π 3 ，∴ - π 6 ＜A- π 6 ＜ π 2 ， 由此可得2sinA-sinC的取值范围为 (- 3 2 ， 3 ) ， 即m的取值范围为（ - 3 2 ， 3 ）