Question

若f（x）=（x+a）（|x-a|+|x-4|）的图象是中心对称图形，则a=______

若f（x）=（x+a）（|x-a|+|x-4|）的图象是中心对称图形，则a=______．

Answer 1

f(x+

a+4

2

)=(x+

3a+4

2

)(|x+

4-a

2

|+|x+

a-4

2

|)，
因为g(x)=|x+

4-a

2

|+|x+

a-4

2

|为偶函数，所以当且仅当

3a+4

2

=0，即a=-

4

3

时，f(x+

a+4

2

)为奇函数，图象关于原点对称．
另解：
①若a=4，则f（x）=2（x+4）|x-4|=

2x2-32 (x≥4) 32-2x2 (x＜4)

，图象不具有中心对称性；
②若a＞4，则f（x）=（x+a）（|x-a|+|x-4|）=

(x+a)(2x-a-4) (x＞a) (a-4)(x+a) (4≤x≤a) -(x+a)(2x-a-4) (x＜4)

．
若图象中心对称，则对称中心必为(

a+4

2

，f(

a+4

2

))．
从而，对任意x＞a，f(x)+f(a+4-x)=2f(

a+4

2

)恒成立，
即（x+a）（2x-a-4）-（2a+4-x）（a+4-2x）=2(a-4)(

a+4

2

+a)恒成立，
所以

3a+4=0 a(7a+8)=0