Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB的中点，AE=CF．求证：DE⊥DF

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB的中点，AE=CF．求证：DE⊥DF．

Answer 1

证明：如图，连接CD．
∵BC=AC，∠BCA=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D为AB中点，
∴BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．
∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠FCD=90°，
∴∠A=∠FCD，
在△ADE和△CFD中，

AE＝CF ∠A＝∠FCD AD＝CD

，
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴∠ADE=∠CDF．∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°，即DE⊥DF．