Question

如图1，Rt△AOB中OA=OB=6，以O为圆心作一半径为3的圆，点C为⊙O上一动点，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙

如图1，Rt△AOB中OA=OB=6，以O为圆心作一半径为3的圆，点C为⊙O上一动点，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D，∠COD绕圆心O旋转．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为______；（2）连接AD，当OC∥AD时，如图2，求证：直线BC为⊙O的切线；（3）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．

Answer 1

（1）解：∵Rt△AOB中OA=OB=6，
∴∠OBA=∠A=45°，
当C点在OB左侧，AO上面时，当OC∥AB时，∠ABO=∠BOC，则∠BOC的度数为45°，
当C点在OB右侧，AO下面时，当OC∥AB时，∠BOC的度数为：90°+45°=135°，
故答案为：45°或135°；

（2）证明：如图2，∵OC∥AD，∠AOB=90°
∴∠ADO=∠COD=∠AOB=90°，
∴∠1+∠2=90°∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△BOC和△AOD中，

OC＝OD ∠BOC＝∠AOD BO＝AO

，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADC=90°，
∴OC⊥BC，
∴直线BC为⊙O的切线；

（3）解：当点C在⊙O上运动到∠AOB的平分线OE的反向延长线与⊙O的交点位置C时，
△ABC的面积最大，（如图3）
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，
此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，
∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=

2

 OA=6

2

，
∴OE=AB=3

2

，OC=3
∴CE=OC+CE=3+3

2

，
△ABC的面积=CE?AB=

1

2

×（3+3

2

）×6