Question

设x1，x2，x3，…，x40是正整数，且x1+x2+x3+…+x40=58，则x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值为（　　

设x1，x2，x3，…，x40是正整数，且x1+x2+x3+…+x40=58，则x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值为（　　）A．400，94B．200，94C．400，47D．200，47

Answer 1

把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x₁²+x₂²+…+x₄₀²的最大值和最小值是存在的．
不妨设x₁≤x₂≤…≤x₄₀，若x₁＞1，则x₁+x₂=（x₁-1）+（x₂+1），且
（x₁-1）²+（x₂+1）²=x₁²+x₂²+2（x₂-x₁）+2＞x₁²+x₂²
所以，当x₁＞1时，把x₁调到1，这时，x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²将增大；
同样，可把x₂，x₃…x₃₉逐步调至1，这时，x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²将增大，于是，当x₁，x₂…x₃₉均为1，x₄₀=19时，x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²将取最大值，即
A=1×39+19²=400．
若存在两数x_i，x_j，使得x_j-x_i≥2（1≤i＜j≤40），则
（x_i+1）²+（x_j-1）²=x_i²+x_j²-2（x_i-x_j-1）＜x₁²+x₂²
所以在x₁，x₂，x₃，…，x₄₀中，若两数差大于1，则较小数加1，较大数减1，这时，
x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²将减小
所以当有22个是1，18个是2时x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²将取最小值，即
B=1×22+2²×18=94
故最大值为400，最小值为94．
故A项正确，故选A．

Answer 2

把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x12+x22+…+x402的最大值和最小值是存在的．
不妨设x1≤x2≤…≤x40，若x1＞1，则x1+x2=（x1-1）+（x2+1），且
（x1-1）2+（x2+1）2=x12+x22+2（x2-x1）+2＞x12+x22
所以，当x1＞1时，把x1调到1，这时，x12+x22+x32+…+x402将增大；
同样，可把x2，x3…x39逐步调至1，这时，x12+x22+x32+…+x402将增大，于是，当x1，x2…x39均为1，x40=19时，x12+x22+x32+…+x402将取最大值，即
A=1×39+192=400．
若存在两数xi，xj，使得xj-xi≥2（1≤i＜j≤40），则
（xi+1）2+（xj-1）2=xi2+xj2-2（xi-xj-1）＜x12+x22
所以在x1，x2，x3，…，x40中，若两数差大于1，则较小数加1，较大数减1，这时，
x12+x22+x32+…+x402将减小
所以当有22个是1，18个是2时x12+x22+x32+…+x402将取最小值，即
B=1×22+22×18=94
故最大值为400，最小值为94．
故A项正确，故选A．