Question

设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝32(an?1)（n∈N*），数列{bn}的通项公式为bn=4n+3（n∈N*）．（Ⅰ）求数

设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝32(an?1)（n∈N*），数列{bn}的通项公式为bn=4n+3（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若将数列{an}与{bn}的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列{dn}，证明数列{dn}的通项公式为dn=32n+1（n∈N*）．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵Sn＝

3

2

(an?1)（n∈N^*），
∴a1＝S1＝

3

2

(a1?1)，
∴a₁=3．
当n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝

3

2

(an?1)?

3

2

(an?1?1)，
∴a_n=3a_n-1，即

an

an?1

＝3（n≥2）．
∴数列{a_n}是以3首项，公比为3的等比数列，
∴a_n=3?3^n-1=3ⁿ（n∈N^*）．（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a₁、a₂显然不是数列{b_n}中的项．
∵a₃=27=4×6+3，
∴d₁=27是数列{b_n}中的第6项，
设a_k=3^k是数列{b_n}中的第m项，则3^k=4m+3（k、m∈N^*）．
∵a_k+1=3^k+1=3×3^k=3（4m+3）=4（3m+2）+1，
∴a_k+1不是数列{b_n}中的项．
∵a_k+2=3^k+2=9×3^k=9（4m+3）=4（9m+6）+3，
∴a_k+2是数列{b_n}中的项．
∴d₁=a₃，d₂=a₅，d₃=a₇，…，d_n=a_2n+1，
∴数列{d_n}的通项公式是d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．（14分）