Question

（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BE=AD．（2）

（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BE=AD．（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是______（只填序号即可）①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE．

Answer 1

解答：（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
∵在△BCE和△ACD中

BC＝AC ∠BCE＝∠ACD CE＝CD

∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴BE=AD；

（2）解：①②③都正确，
理由是：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中

BC＝AC ∠BCE＝∠ACD CE＝CD

∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∴②正确；
同理△FDC≌△BDE，
∴BE=CF，
∴BE=AD=CF，∴①正确；
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CEP=∠CDA，
∵∠CED=∠CDE=60°，
∴∠DEP+∠CEP=∠CED=60°=∠CDP+∠DEP，
∴∠DPE=180°-60°-60°=60°，
同理∠EPC=∠CPA=60°，即∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°，∴③正确；
故答案为：①②③；

（3）证明：在PE上截取PM=PC，连接CM，

由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠1=∠2
设CD与BE交于点G，在△CGE和△PGD中，
∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD，
∴∠DPG=∠ECG=60°，
同理∠CPE=60°，
∴△CPM是等边三角形，
∴CP=CM，∠PMC=60°．
∴∠CPD=∠CME=120°．
∵∠1=∠2，
∴△CPD≌△CME（AAS），
∴PD=ME，
∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD，
即PB+PC+PD=BE．