Question

设数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20，数列{bn}的前n项和为Sn，b1=23且3Sn=Sn-1+2（n≥2，n∈N）．（Ⅰ

设数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20，数列{bn}的前n项和为Sn，b1=23且3Sn=Sn-1+2（n≥2，n∈N）．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=an?bn，n=1，2，3，…，Tn为数列{cn}的前n项和，Tn＜m对n∈N*恒成立，求m的最小值．

Answer 1

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 数列{a_n}为等差数列，公差d=

1

2

（a₇-a₅）=3，易得a₁=2，
所以a_n=3n-1  …（1分）
由3S_n=S_n-1+2（n≥2，n∈N），得3S_n=S_n-b_n+2，即b_n=2-2S_n，
所以b₂=2-（b₁+b₂）
，又b1＝

2

3

，所以b₂=

2

9

，

b2

b1

=

1

3

…（2分）
由3S_n=S_n-1+2，当n≥3时，得3S_n-1=S_n-2+2，
两式相减得：3（S_n-S_n-1）=S_n-1-S_n-2，即3b_n=b_n-1，所以

bn

bn?1

=

1

3

（n≥3）…（4分）
又

b2

b1

=

1

3

，所以{b_n}是以b1＝

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，于是b_n=2?

1

3n

  …（5分）
（Ⅱ）c_n=a_n?b_n=2（3n-1）?

1

3n

，
∴T_n=2[2?

1

3

+5?

1

32

+8?

1

33

+…+（3n-1）?

1

3n

]，…（6分）

1

3

T_n=2[2?

1

32

+5?

1

33

+…+（3n-4）?

1

3n

+（3n-1）?

1

3n+1

]，…（8分）
两式相减得

2

3

T_n=2[3?

1

3

+3?

1

32

+3?

1

33

+…+3?

1

3n

-

1

3

-（3n-1）?

1

3n+1

]
=2[1+

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n?1

-

1

3

-（3n-1）?

1

3n+1

]
=2×

1?( 1 3 )n

1? 1 3

-

2

3

-2（3n-1）?

1

3n+1

…（9分）
所以T_n=

7

2

-

7

2

?

1

3n

-

n

3n?1

，…（11分）
从而T_n=

7

2

-

7

2

?

1

3n

-

n

3n?1

＜

7

2

，
∵T_n＜m对n∈N⁺恒成立，∴m≥

7

2

∴m的最小值是

7

2

 …（12分）