Question

（2006?莱芜）半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，点P在AB上运动，过点C

（2006?莱芜）半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，点P在AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；（2）当点P运动到AB的中点时，求CQ的长；（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．





Answer 1

解答：解：（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴AB=5，又∵BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3．
又∵

1

2

AC?BC=

1

2

AB?CD
∴CD=

12

5

，PC=

24

5

在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
Rt△ACB∽Rt△PCQ
∴

AC

BC

=

PC

CQ

，
∴CQ=

BC?PC

AC

=

4

3

PC=

32

5

．

（2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E（如图）．
∵P是弧AB的中点，
∴∠PCB=45°，CE=BE=

2

2

BC=2

2

又∠CPB=∠CAB
∴tan∠CPB=tan∠CAB=

4

3

∴PE=

BE

tan∠CPB

=

3

4

BE=

3 2

2

，PC=

7 2

2

而从（1）中得，CQ=

4

3

PC=

14 2

3

．

（3）点P在弧AB上运动时，恒有CQ=

BC?PC

AC

=

4

3

PC；
故PC最大时，CQ取到最大值．
当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为

20

3

．