Question

（2004?朝阳区一模）如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，E、F分别为AB、PD的中点，过AE、AF的平面

（2004?朝阳区一模）如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，E、F分别为AB、PD的中点，过AE、AF的平面交PC于点H，二面角P-CD-B为45°，PA=a．（Ⅰ）求证：AF∥EH；（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD； （Ⅲ）求多面体ECDAHF的体积．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵EA∥CD，CD?平面PCD，EA?平面PCD，
∴EA∥平面PCD．
又平面EAFH∩平面PCD=HF，且EA?平面EAFH，
∴EA∥HF．
∴HF∥CD．
∵E、F分别是AB、PD的中点，
∴EA∥HF∥CD，EA=HF=

1

2

CD．
∴四边形EAFH是平行四边形．
∴AF∥EH．…（5分）
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD是PD在平面ABCD内的射影，
∴PD⊥CD．
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°．
∴△PAD是等腰Rt△，又F是斜边PD上的中点，
∴AF⊥PD．
∵AF在平面ABCD内的射影AD⊥CD，
∴AF⊥CD，而PD∩CD=D．
∴AF⊥平面PCD．
∵EH∥AF，∴EH⊥平面PCD．
又EH?平面PCE，∴平面PCE上平面PCD．…（9分）
（Ⅲ）解：由上面的证明可知，PF⊥平面EAFH，四边形EAFH是矩形，
∵PA=AD=a，
∴AF＝PF＝

2

2

a，HF＝

a

2

．
∴VP?EAFH＝

1

3

AF?HF?PF＝

1

3

?

2

2

a?

a

2

?

2

2

a＝

a3

12

．

VP?AECD＝ 1 3 ? 1 2 (EA+CD)?AD?PA

=

1

6

(

a

2

+a)?a?a＝

a3

4

∴V_{多面体ECDAHF}=V_P-AECD-V_P-EAFH=

a3

4

?

a3

12

＝

a3

6

．…（13分）