Question

已知圆C：x2-2x+y2=0，直线l：x+y-4=0．（1）若直线l′⊥l且被圆C截得的弦长为3，求直线l′的方程；（2）

已知圆C：x2-2x+y2=0，直线l：x+y-4=0．（1）若直线l′⊥l且被圆C截得的弦长为3，求直线l′的方程；（2）若点P是直线l上的动点，PA、PB与圆C相切于点A、B，求四边形PACB面积的最小值．

Answer 1

（1）因为直线l′⊥l，所以直线l′的斜率为1，设直线l′方程为y=x+b，
因为截得弦长为

3

，所以圆心C到直线l′的距离为

1

2

，即

|1+b|

2

＝

1

2

，解得b＝?1?

2

2

或b＝?1+

2

2

，
所以直线l′方程为：y＝x?1?

2

2

或y＝x?1+

2

2

．--------（5分）
（2）S_{四边形PACB}=2S_△PAC=|PA||AC|，
因为|AC|=r=1，所以当|PA|取得最小值时四边形PACB的面积最小．
因为PA²=PC²-r²=PC²-1，所以当PC取最小值时，PA取得最小值，
由点到直线的距离公式可得|PC|min＝

|1+0?4|

2

＝

3 2

2

，
所以(S四边形PACB)min＝

14

2

．---------------------（10分）