Question

一个数,除以59余5,除以72余2,问这个数最小是多少?

Answer 1

设数为a
则a=59m+5，a=72n+2
有59m+5=72n+2
得：72n-59m=5-2=3是一个不定方程，解这个不定方程：
先求它的一个特解：
72-59=13
59÷13=4......7
13÷7=1......6
7-6=1
1=7-6=7-(13-7)=7-13+7=2×7-13=2×(59-13×4)-13
=2×59-13×8-13
=2×59-9×13
=2×59-9×(72-59)
=2×59-9×72+9×59
=11×59-9×72
故3=33×59-27×72
所以，它的一个特解是
n=-27，m=-33
方程的通解是：
m=-33+72t
n=-27+59t
t是整数
代入得a=59(-33+72t)+5
=-59×33+59×72t+5
=-1947+5+4248t
=4248t-1942
因为a是自然数，故4248t-1942≥0
t≥1942/4248=0.457156
是故，t≥1
当t=1时，a得到最小数。这时a=4248×1-1942=2306
所求最小数是2306。

Answer 2

解:即这个数为59n+5=72m+2，解这个不定方程:n=(72m+2-5)/59，
n=m+(13m-3)/59，令:
(13m-3)/59=h，则有:
59h=13m-3，m=(59h+3)/13，m=4h+(7h+3)/13，当h=7时，m=4x7+4=32，所以当m=32时，n=32+7=39，所以这个数最小是39x59+5=2306，或者:
32x72+2=2306