Question

已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE＝2

已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE＝2． （1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF＝a时，求△GFC的面积（用a表示）；（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由．

Answer 1

（1）10；（2）12－a；（3）不能

试题分析：（1）过点G作GM⊥BC于M，根据正方形的性质及同角的余角相等可证得△AHE≌△BEF，同理可证：△MFG≌△BEF，即可得到GM＝BF＝AE＝2，再根据三角形的面积公式求解即可； （2）过点G作GM⊥BC于M．连接HF，根据平行线的性质可得∠AHF＝∠MFH，∠EHF＝∠GFH，即得∠AHE＝∠MFG，再结合∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF可证得△AHE≌△MFG，即可得到GM＝AE＝2，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）若S △ GFC ＝2，则12－a＝2，解得a＝10．此时在△BEF中，根据勾股定理求得EF的长，在△AHE中，根据勾股定理求得AH的长，由AH＞AD，即点H已经不在边AB上，故不可能有S △ GFC ＝2． （1）过点G作GM⊥BC于M 在正方形EFGH中，∠HEF＝90°，EH＝EF， ∴∠AEH+∠BEF＝90°， ∵∠AEH＋∠AHE＝90°， ∴∠AHE＝∠BEF， 又∵∠A＝∠B＝90°， ∴△AHE≌△BEF． 同理可证：△MFG≌△BEF， ∴GM＝BF＝AE＝2， ∴FC＝BC－BF＝10， 则S △ GFC ＝10； （2）过点G作GM⊥BC于M．连接HF ∵AD∥BC， ∴∠AHF＝∠MFH， ∵EH∥FG， ∴∠EHF＝∠GFH， ∴∠AHE＝∠MFG． 又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF， ∴△AHE≌△MFG． ∴GM＝AE＝2． ∴S △ GFC ＝ FC?GM＝ （12－a）×2＝12－a； （3）△GFC的面积不能等于2． ∵若S △ GFC ＝2，则12－a＝2，解得a＝10． 此时，在△BEF中，EF＝ ＝ ＝ ， 在△AHE中，AH＝ ＝ ＝ ＝ ＞12， ∴AH＞AD，即点H已经不在边AB上，故不可能有S △ GFC ＝2． 点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．