Question

y=xcosx是周期函数吗?

Answer 1

y=xcosx不是周期函数。

对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数。

证明：

证明：假设y=xcosx是周期函数。

因为周期函数有f(x+T)=f(x)。

xcosx=（x+T)cos(x+T)=xcosx*cosT-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT。

所以cosT=1T=kπ／2。

-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT=0。

-xsinx*sinT-Tsinx*sinT=0。

(x+T)sinx*sinT=0。

只能是sinT=0，T=kπ和T=kπ／2矛盾。

所以不是周期函数。

周期函数：

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）＝f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。