Question

n分之一的前n项和是什么？

Answer 1

数列1/n的前n项和没有通项公式，但它存在极限值，当n趋于无穷大时，其极限值为ln2。

下面给出证明：

设a(n)=1/（n+1）+…+1/2n,(少了1/n,多了1/2n)

lim (1+1/n)^n=e,且(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)

取对数

1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n

设b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn

b(n+1)-b(n)=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0

又b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn

>ln2/1+ln3/2+ln4/3+...+ln(1+1/n)-lnn

=ln(n+1)-lnn>0

性质

1、若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。

2、在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

3、若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab（G≠0）”。

4、若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

5、若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。

6、等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)

在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。

注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

7、由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列 。