Question

求证当x≥0时，有（1+x）ln（1+x）≥arctanx

求证当x≥0时，有（1+x）ln（1+x）≥arctanx．

Answer 1

证明：令f（x）=（1+x）ln（1+x）-arctanx，x≥0，则
f′（x）=ln（1+x）+1-

1

1+x2

=ln（1+x）+

x2

1+x2

≥0，
从而f（x）在[0，+∞）上单调递增．
又因为f（0）=0，
从而f（x）≥0，
即：（1+x）ln（1+x）≥arctanx．