如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12．过F1的直线l交椭圆与A、B两
如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12．过F1的直线l交椭圆与A、B两点，且△ABF2的周长为8．（1）求椭圆E的...
如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12．过F1的直线l交椭圆与A、B两点，且△ABF2的周长为8．（1）求椭圆E的方程；（2）当△ABF2的面积为3时，求直线l的方程．
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（1）∵|AB|+|AF2|+|BF2|=8，
即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8，
又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，
∴4a=8，a=2．
又∵e＝
，即
＝
，
∴c=1．
∴b=
＝
．
故椭圆E的方程为
+
＝1；
（2）设直线l的方程为x=ty-1．
联立
，得（3t2+4）y2-6ty-9=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2＝
，y1y2＝
．
由S△ABF2＝
|F1F2|?|y1?y2|=
即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8，
又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，
∴4a=8，a=2．
又∵e＝
| 1 |
| 2 |
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
∴c=1．
∴b=
| a2?c2 |
| 3 |
故椭圆E的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）设直线l的方程为x=ty-1．
联立
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2＝
| 6t |
| 3t2+4 |
| ?9 |
| 3t2+4 |
由S△ABF2＝
| 1 |
| 2 |
