Question

设函数f（x）=ln（x+a）+x2(a＞2)，（1）若a=32，解关于x不等式f(ex?32)＜ln2+14；（2）证明：关于x的方

设函数f（x）=ln（x+a）+x2(a＞2)，（1）若a=32，解关于x不等式f(ex?32)＜ln2+14；（2）证明：关于x的方程2x2+2ax+1=0有两相异解，且f（m）和f（n）分别是函数f（x）的极小值和极大值（m，n为该方程两根，且m＞n）．

Answer 1

（1）解：a=

3

2

时，求导函数可得f′(x)＝

2x2+3x+1

x+ 3 2

=

(2x+1)(x+1)

x+ 3 2

．  （2分）
f（x）的定义域为（-

3

2

，+∞）．      （3分）
当-

3

2

＜x＜-1时，f'（x）＞0；当-1＜x＜?

1

2

时，f'（x）＜0；当x＞

1

2

时，f'（x）＞0．
从而，f（x）在（-

3

2

，-1），（?

1

2

，+∞）单调增加，在（-1，?

1

2

）单调减少．（5分）
∵e

x

?

3

2

≥ ?

1

2

，f（

1

2

）=

1

4

+ln2
∴不等式f(e

x

?

3

2

)＜ln2+

1

4

等价于e

x

?

3

2

＜

1

2

∴

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