有一道高数的曲面积分的题,答案看得不是懂

1,添加了辅助面以后,为什么要加负号?2,为什么不能直接就用高斯公式?... 1,添加了辅助面以后,为什么要加负号?
2,为什么不能直接就用高斯公式?
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mscheng19
2012-06-04 · TA获得超过1.3万个赞
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第一:该解答错误,正确答案是6pi*a^5/5。
第二:Gauss公式的应用有三个前提条件:一是必须在封闭曲面上的第二型曲面
积分;二是积分必须是取外侧;三是P,Q,R三个函数必须是连续可微的。
由于本题的曲面只是上半球面,不是封闭的,因此要用Gauss公式,必须补面。
第三:本题补上曲面S:z=0,x^2+y^2<=a^2后就是封闭的,满足第一个条件。
但得对S定义方向,使之满足第二个条件。因此S的定向必须是往下的,
和起来整个曲面的定向才是外侧,法向量才是朝外的。第三个条件是满足的,
因此可以用Gauss公式了。
第四:补上面后可以用Guass公式,但要减去补上面S的积分才是我们想要的。
因此整个做法是补完面后,原积分
=SIgma并上S的积分-S的积分,
第一项用Guass公式=3(x^2+y^2+z^2)的三重积分
=6pi*a^5/5,第二项题目已经计算出来了是0,
因此最终得积分值是6pi*a^5/5。
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2012-06-05 · TA获得超过6930个赞
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答案错了,没有负号的……原因是取辅助面时取错了,因为所给球的曲面方向为上侧,辅助面应当取才能使曲面外法线的正方向同为向外的,要不有向外的有向里的,你咋规定正方向?高斯公式是以流量从里向外流为正,所以不用加负号了,题目解答错了……高斯公式的条件就是:1、封闭空间区域2、各个曲面分片光滑3、积分函数式子在所给的区域中有连续的偏导数,显然所给条件不满足高斯公式的第一个条件,要添加辅助面了,向格林公式有时也要添加辅助线构成闭曲线吧???同样的道理……但是添加后还要把添加的曲面积分去掉,因为添加之后的计算肯定是两个曲面叠加后的值,而我们求得是当中一个曲面的值
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