Question

有一道高数的曲面积分的题，答案看得不是懂

1，添加了辅助面以后，为什么要加负号？
2，为什么不能直接就用高斯公式？

Answer 1

第一：该解答错误，正确答案是6pi*a^5/5。
第二：Gauss公式的应用有三个前提条件：一是必须在封闭曲面上的第二型曲面
积分；二是积分必须是取外侧；三是P，Q，R三个函数必须是连续可微的。
由于本题的曲面只是上半球面，不是封闭的，因此要用Gauss公式，必须补面。
第三：本题补上曲面S：z＝0，x^2+y^2<=a^2后就是封闭的，满足第一个条件。
但得对S定义方向，使之满足第二个条件。因此S的定向必须是往下的，
和起来整个曲面的定向才是外侧，法向量才是朝外的。第三个条件是满足的，
因此可以用Gauss公式了。
第四：补上面后可以用Guass公式，但要减去补上面S的积分才是我们想要的。
因此整个做法是补完面后，原积分
＝SIgma并上S的积分－S的积分，
第一项用Guass公式＝3(x^2+y^2+z^2)的三重积分
＝6pi*a^5/5，第二项题目已经计算出来了是0，
因此最终得积分值是6pi*a^5/5。

Answer 2

答案错了，没有负号的……原因是取辅助面时取错了，因为所给球的曲面方向为上侧，辅助面应当取才能使曲面外法线的正方向同为向外的，要不有向外的有向里的，你咋规定正方向？高斯公式是以流量从里向外流为正，所以不用加负号了，题目解答错了……高斯公式的条件就是：1、封闭空间区域2、各个曲面分片光滑3、积分函数式子在所给的区域中有连续的偏导数，显然所给条件不满足高斯公式的第一个条件，要添加辅助面了，向格林公式有时也要添加辅助线构成闭曲线吧？？？同样的道理……但是添加后还要把添加的曲面积分去掉，因为添加之后的计算肯定是两个曲面叠加后的值，而我们求得是当中一个曲面的值