Question

高数题，在用极坐标求二重积分的时候，为什么当D为x2+y2<Ry时，θ的取值是大于0小于180呢？

X和Y后面的2是平方。

Answer 1

两种方法：
1、代数法，注意到只要是积分的变量替换一定是正则的，因此一定把边界映为边界。
原边界是x^2+y^2=Ry，用极坐标后就是r^2=Rrsina，即r=Rsina，由于r必须大于等于0，
因此sina必须大于等于0，在【0,2pi】内满足sina>=0的a必须是【0，pi】。
2、几何方法：对几何比较了解的话，容易知道D是以（0，R/2)为心，以a/2为半径的圆，
图形在x轴上方，图像可以看出极角的范围必须是从0到pi。

追问

哦哦，明白啦，还有一个问题就我做题是的一句话“D全对称，被积函数是奇函数，所以I=0。”为什么是奇函数就为0呢 怎么算的吖！谢谢！嘻嘻

追答

这句话在二维时实际上表示三种情况：
D是关于原点中心对称，即若(x，y)位于D，则(－x，－y)也位于D。
若f(－x，－y)＝－f(x，y)，即f(x，y)关于原点是奇函数，积分值是0.
D是关于x轴对称，即若(x，y)位于D，则(x，－y)也位于D。
若f(x，－y)=－f(x，y)，即f(x，y)关于x轴是奇函数，积分值是0。
类似关于y轴的结论也成立。
证明很容易：比如第一种，做变量替换x＝－u，y＝－v，则
积分区域在变换下没有变化，但函数值变为原来的相反数，
因此积分值是原来的相反数，于是积分值只能是0。
几何解释很简单：在区域D上有一个函数值f(x，y)，
必有一个－f(x，y)跟它对应，因此在求Riemann和时
总是0，极限即积分值就是0。

Answer 2

x2+y2<Ry相当于：x^2+(y-R/2)^2《(R/2)^2，它在上半平面。故：θ的取值是大于0小于180

Answer 3

Ry是什么