Question

设双曲线C： x 2 a 2 - y 2 =1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．

设双曲线C： x 2 a 2 - y 2 =1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且 PA = 5 12 PB ．求a的值．

Answer 1

（I）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组 x 2 a 2 - y 2 =1 x+y=1. 有两个不同的实数解．消去y并整理得 （1-a 2 ）x 2 +2a 2 x-2a 2 =0．① 所以 1- a 2 ≠0. 4 a 4 +8 a 2 (1- a 2 )＞0. 解得0＜a＜ 2 且a≠1． 双曲线的离心率 e= 1+ a 2 a = 1 a 2 +1 ． ∵ 0＜a＜ 2 且a≠1， ∴ e＞ 6 2 且 e≠ 2 即离心率e的取值范围为 ( 6 2 ， 2 )∪( 2 ，+∞) ． （II）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），P（0，1） ∵ PA = 5 12 PB ， ∴ ( x 1 ， y 1 -1)= 5 12 ( x 2 ， y 2 -1) ． 由此得 x 1 = 5 12 x 2 ． 由于x 1 和x 2 都是方程①的根，且1-a 2 ≠0， 所以 17 12 x 2 =- 2 a 2 1- a 2 ． x 1 ?x 2 = 5 12 x 22 =- 2 a 2 1- a 2 ． 消去x 2 ，得 - 2 a 2 1- a 2 = 289 60 由a＞0，所以a= 17 13 ．