Question

如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D，点E为边BC上一个动点．（1）当点E移动到

如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D，点E为边BC上一个动点．（1）当点E移动到什么位置时，ED为⊙O的切线？并证明之；（2）如果点E在（1）的位置的条件下，且ED为⊙O的切线，⊙O的半径为 ， ED=2，求BD的长．

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Answer 1

（1）当点E为BC中点时，ED为⊙O的切线 证明：连接OD ∵点O为直径AB的中点，点E为BC的中点 ∴ OE为△ABC的中位线 ∴OE//AB ∴ ∠COE= ∠A ∠DOE= ∠ODA ∵OA=OD ∴ ∠ODA= ∠A ∴ ∠COE= ∠DOE 又∵CO=DO EO=EO ∴△ODE≌△OCE ∴ ∠ODE= ∠C=90 又∵点C在⊙O上 ∴ED为⊙O的切线； （2）解：连接CD ∵ED为⊙O的切线 ∴∠ODE=90° ∴在Rt△ODE中 OE= 由（1）得OE是△ABC的中位线 ∴OE= AB ∴AB=2OE=2× ∵∠C=90° 则在Rt△ABC中 AB=5 直径AC=2× =3 ∴BC= 又∵AC是⊙O的直径 ∴∠ADC=90° ∴S △ABC = ∴CD= 在Rt△BDC中 BD=