Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P´（点P´不在y轴上），连接PP´，P´A，P´C．设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是（﹣1，m），求m的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与P´C的交点为D．当P´D：DC=1：3时，求a的值；（3）是否同时存在a，b，使△P´CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）①y= x+3   ②        （2）a=        （3）分情况讨论，具体过程见解析

试题分析：（1）①设直线AB的解析式为y=kx+3， 把x=﹣4，y=0代入得：﹣4k+3=0， ∴k= ， ∴直线的解析式是：y= x+3， ②由已知得点P的坐标是（1，m）， ∴m= ×1+3= ； （2）∵PP′∥AC， △PP′D∽△ACD， ∴ = ，即 = ， ∴a= ； （3）以下分三种情况讨论． ①当点P在第一象限时， 1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1） 过点P′作P′H⊥x轴于点H． ∴PP′=CH=AH=P′H= AC． ∴2a= （a+4） ∴a= ∵P′H=PC= AC，△ACP∽△AOB ∴ = = ，即 = ， ∴b=2 2）若∠P′AC=90°，（如图2），则四边形P′ACP是矩形，则PP′=AC． 若△P´CA为等腰直角三角形，则：P′A=CA， ∴2a=a+4 ∴a=4 ∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB ∴ = =1，即 =1 ∴b=4 3）若∠P′CA=90°， 则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾． ∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形． ②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形； ③当P在第三象限时，∠P′AC为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形． 所有满足条件的a，b的值为： ， ． 点评：本题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．