Question

高数定积分这道题目怎么做？

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

分析

Answer 2

极坐标求旋转体面积公式 ： S = ∫<α, β>2πrsinθ√[r^2+(r')^2]dθ

双钮线r^2=a^2cos2θ,第1象限部分，0≤θ≤π/4,

r = a√cos2θ,    r' = a(-sin2θ)/√cos2θ.

S = 2∫<0,  π/4> 2πa^2 √cos2θ sinθ √[cos2θ+(sin2θ)^2/cos2θ]dθ

= 4πa^2∫<0,  π/4> √cos2θ sinθ / √cos2θ dθ

= 4πa^2∫<0,  π/4> sinθ dθ = 4πa^2[-cosθ]<0,  π/4> 

= 4πa^2(1-√2/2) = 2πa^2(2-√2)

补充回答：

看图 ：θ = 0 时， r = a， 是最右点；θ = π/4 时， r = 0 到原点。

由对称性，第 1 象限部分与第 4 象限部分旋转体是同一个，

故第 1 象限部分旋转体面积是所求旋转体面积的一半。

追问

第一个问题 为啥是0到4分之π

4分之π如何确定出来的

第二个问题 为啥用第一象限的 旋转之后的侧面积是两倍

追答

见补充解答。