Question

【麻烦数学高手前来解疑！！！!!!】着急，无奈，彷徨中...急急急急急急，数学高手请速进！！！谢谢!!!

【题目】如图：PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=1/2CD。
（1）求证：BC⊥平面ABPE

PS：该题的参考答案如下：∵PO⊥平面ABCD，BC在平面ABCD上，∴BC⊥PO，又BC⊥AB，AB∩PO=O，所以BC⊥平面ABP，又EA∥PO，AO在平面ABP上，∴EA在平面ABP上，∴BC⊥平面ABPE

我的疑问是：请问①为什么由“BC⊥平面ABP，又EA∥PO，AO在平面ABP上，”可以推出“EA在平面ABP上”，是运用了什么定理推论得来的吗，从图上看，看不出“EA在平面ABP上”；
②题中要证明“BC⊥平面ABPE”，由已知及分析可得，不是直接可以凭借“∵PO⊥平面ABCD，BC在平面ABCD上，∴BC⊥PO，又BC⊥AB，AB∩PO=O，”就可证得“BC⊥平面ABPE”了吗？为什么只是证得“BC⊥平面ABP”这个？参考答案的证明过程有点曲折噢。

我的数学不太好，（麻烦数学高手帮忙详细解释以上）我对该参考解释的疑问，跪谢！！！！！！

Answer 1

第一问这样证更简单：
EA∥PO，所以E、A、P、O四点共面
A、O、B三点共线；A、O两点都在平面EAPO上，所以B也在平面EAPO上，
于是B、E、A、P、O五点共面
这样直接利用PO⊥BC和AB⊥BC得到BC⊥平面PEAOB，即BC⊥面ABPE。

对于①，两条平行直线一定共面，而由 EA∥PO、PO在平面ABP上可知，EA要么平行于平面APB，要么就在平面APB上，由于A点一定在平面APB上，因此第一种假设不成立，EA只能在平面APB上。

对于②，这题没有明确说A、B、P、E四点共面，要想向你那样去写，必须先证明这四点共面才行。原证明顺序先证明BC⊥平面ABP，再证明A、B、P、E四点共面，是正确的。

追问

谢谢O(∩_∩)O，关于我的第二个疑问，从图中不是直接就可以看到A、B、P、E四点共面了吗，以前做这类题的时候，都不用证四点共面之类的。请问高人，什么时候（情况）才要证四点共面啊？

追答

这还要看题干，看题干中有没有明确说明，这道题这么做应该是想强调一下需要注意这一点吧。而且从定理应用条件的角度讲，在没有四点共面的前提下，BC只能垂直于平面ABP。立体几何不像平面几何，“从图中看”四个字只有在非常直观的情况下才可以用，四点共面还是需要一些推导的。作为考试，还是严谨一些为好。此外，你应该询问一下你的数学老师，毕竟他们对答案得分点的把握更准确，他们的解答更能反映出高考对学生的要求。

Answer 2

1 AE// OP ,故可以确定一个平面A在AE上，O在OP上，而AOE三点有时一直线 故可以确定EA与OP在同一平面上，都在面AEPB上，面ABP与面AEPB是同一平面，因此EA在平面ABP上
2
一条直线垂直于一个面 则和面上所有的直线都垂直 所以得∵PO⊥平面ABCD，BC在平面ABCD上，∴BC⊥PO
一条直线同时垂直另两条相交直线，则该直线垂直于着两条直线所在的面。所以BC⊥PO，又BC⊥AB，AB∩PO=O 得到BC⊥平面ABPE

追问

谢谢O(∩_∩)O，关于我的第二个疑问，从图中不是直接就可以看到A、B、P、E四点共面了吗，以前做这类题的时候，都不用证四点共面之类的。请问高人，什么时候（情况）才要证四点共面啊？

追答

比如这个题，没说A、B、P、E四点共面，证明一下更严谨，运用定理证明嘛，就要使你的每一条都符合定理，虽然很多时候我们都没没说，但那时存在的，嘿嘿，主要是题目没说这四点共面，所以证明一下，有的题不用证，是因为他告诉我们已经共面了，故无需证明。

Answer 3

1 AE// OP ,故可以确定一个平面A在AE上，O在OP上，而AOE三点有时一直线 故可以确定EA与OP在同一平面上，都在面AEPB上，面ABP与面AEPB是同一平面，因此EA在平面ABP上
2
一条直线垂直于一个面 则和面上所有的直线都垂直 所以得∵PO⊥平面ABCD，BC在平面ABCD上，∴BC⊥PO
一条直线同时垂直另两条相交直线，则该直线垂直于着两条直线所在的面。所以BC⊥PO，又BC⊥AB，AB∩PO=O 得到BC⊥平面ABPE
或
第一问这样证更简单：
EA∥PO，所以E、A、P、O四点共面
A、O、B三点共线；A、O两点都在平面EAPO上，所以B也在平面EAPO上，
于是B、E、A、P、O五点共面
这样直接利用PO⊥BC和AB⊥BC得到BC⊥平面PEAOB，即BC⊥面ABPE。

对于①，两条平行直线一定共面，而由 EA∥PO、PO在平面ABP上可知，EA要么平行于平面APB，要么就在平面APB上，由于A点一定在平面APB上，因此第一种假设不成立，EA只能在平面APB上。

对于②，这题没有明确说A、B、P、E四点共面，要想向你那样去写，必须先证明这四点共面才行。原证明顺序先证明BC⊥平面ABP，再证明A、B、P、E四点共面，是正确的。