Question

数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1-an，n∈N*（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn=|a1|+|a2|+…+

数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1-an，n∈N*（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn；（3）设bn＝1n(12?an)(n∈N*)，Tn＝b1+b2+…+bn(n∈N*)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*，均有Tn＞m32成立？若存在，求出m的值：若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意，an+2?a

?

n

+1＝an+1?an，
∴{a_n}为等差数列，设公差为d，
由题意得2=8+3d?d=-2，
∴a_n=8-2（n-1）=10-2n
（2）若10-2n≥0则n≤5，n≤5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a1+a2+…+an＝

8+10?2n

2

×n＝9n?n2
n≥6时，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=S₅-（S_n-S₅）=2S₅-S_n=n²-9n+40
故Sn＝

9n?n2 n≤5 n2?9n+40 n≥6

（3）∵bn＝

1

n(12?an)

＝

1

2n(n+1)

＝

1

2

(

1

n

?

1

n+1

)∴Tn＝

1

2

[(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+(

1

3

?

1

4

)+…+(

1

n?1

?

1

n

)+(

1

n

?

1

n+1

)]＝

n

2(n+1)

若Tn＞

m

32

对任意n∈N*成立，即

n

n+1

＞

m

16

对任意n∈N*成立，∵

n

n+1

(n∈