Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点P是劣弧BC上一点（端点除外），∠APB=∠APC=60°．（1）判断△ABC形状

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点P是劣弧BC上一点（端点除外），∠APB=∠APC=60°．（1）判断△ABC形状，并证明．（2）探究线段PA，PB，PC三者数量关系，并证明．（3）若PA=a，求四边形ABPC的面积．（用a的代数式表示）

Answer 1

（1）解：△ABC形状是等边三角形，理由如下：

（2）△ABC形状是等边三角形，理由如下：
证明：延长BP使PD=PC，连接CD，
∵∠APC=60°，∠BPC=120°，
∴∠PBC=∠PAC．
∴∠CPD=60°．
∴△PCD是等边三角形．
∴∠D=60°=∠APC．
在△BCD和△ACP中，

∠D＝∠APC ∠DBC＝∠PAC BC＝AC

，
∴△BCD≌△ACP．
∴BD=AP．
∵BD=BP+PD=BP+CP，
∴AP=BP+CP．

（3）解：延长PB至M，使得MB=PC，连接AM，则
在△AMB和△APC中，

AB＝AC ∠MAB＝∠PAC MB＝PC

，
∴△AMB≌△APC（SAS），
∴AM=AP，∠MAB=∠PAC，
又∵∠BAC=60°，
∴△MAP为正三角形，
∴S_{四边形ABPC}=S_{△AMP的面积}=

3

4

a²．