Question

定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足f(x)f′(x)＞x，则下列不等式成立

定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足f(x)f′(x)＞x，则下列不等式成立的是（　　）A．3f（2）＜2f（3）B．3f（4）＜4f（3）C．2f（3）＜3f（4）D．f（2）＜2f（1）

Answer 1

∵f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数，
∴f′（x）＜0，
又∵

f(x)

f′(x)

＞x，
∴

f(x)?f′(x)?x

f′(x)

＞0?

f(x)?f′(x)?x

[f′(x)]2

＜0?[

x

f(x)

]′＜0，
设h（x）=

x

f(x)

，则h（x）=

x

f(x)

为（0，+∞）上的单调递减函数，
∵

f(x)

f′(x)

＞x＞0，f′（x）＜0，
∴f（x）＜0．
∵h（x）=

x

f(x)

为（0，+∞）上的单调递减函数，
∴

2

f(2)

＞

3

f(3)

?

2f(3)?3f(2)

f(2)?f(3)

＞0?2f（3）-3f（2）＞0?2f（3）＞3f（2），故A正确；
由2f（3）＞3f（2）＞3f（4），可排除C；
同理可判断3f（4）＞4f（3），排除B；
1?f（2）＞2f（1），排除D；
故选A．