已知函数f(x)的导数f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b,a,b为实数,1<a<2,(1)若f(x)在区间[-1,1]上

已知函数f(x)的导数f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b,a,b为实数,1<a<2,(1)若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求a、b的值... 已知函数f(x)的导数f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b,a,b为实数,1<a<2,(1)若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求a、b的值;(2)在(1)条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程. 展开
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恋月0135
2015-01-20 · 超过77用户采纳过TA的回答
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(1)由已知得,f(x)=x3?
3
2
ax2+b

由f′(x)=0,得x1=0,x2=a.
∵x∈[-1,1],1<a<2,
∴当x∈[-1,0)时,f′(x)>0,f(x)递增;
当x∈(0,1]时,f′(x)<0,f(x)递减.
∴f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(0)=b,
∴b=1.
又f(1)=1-
3
2
a+1=2-
3
2
a,
f(-1)=-1-
3
2
a+1=-
3
2
a,
∴f(-1)<f(1).即-
3
2
a=-2,得a=
4
3

故a=
4
3
,b=1;
(2)由(1)得f(x)=x3-2x2+1,f′(x)=3x2-4x,点P(2,1)在曲线f(x)上.
①当切点为P(2,1)时,切线l的斜率k=f′(x)|x=2=4,
∴l的方程为y-1=4(x-2),即4x-y-7=0.
②当点P不是切点时,设切点为Q(x0,y0)(x0≠2),
切线l的斜率k=k=f′(x0)=3x02?4x0
∴l的方程为y-y0=(3x02-4x0)(x-x0).
又点P(2,1)在l上,
∴1-y0=(3x02-4x0)(2-x0),
∴1-(x03-2x02+1)=(3x02-4x0)(2-x0),
∴x02(2-x0)=(3x02-4x0)(2-x0),
∴x02=3x02-4x0
即2x0(x0-2)=0,
∴x0=0.
∴切线l的方程为y=1.
故所求切线l的方程为4x-y-7=0或y=1.
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