Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=22，PA=2，（1）求

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=22，PA=2，（1）求证：BE∥平面PAD；（2）求PC与平面ABCD所成角的大小；（3）求三棱锥P-ABE的体积．

Answer 1

（1）证明：取PD的中点为F，连接EF，AF，
因为E为PC的中点，
所以EF为△PCD的中位线，
所以EF∥CD，CD=2EF，
又因为CD=2AB，AB∥CD，
所以EF=AB，并且EF∥AB，
所以四边形ABEF为平行四边形，
所以BE∥AF，
因为AF?平面PAD，
所以BE∥平面PAD．
（2）解：连接AC，则∠PCA为求PC与平面ABCD所成角．
因为AB=2，AD=2

2

，
所以AC=2

3

，
因为PA=2，
所以tan∠PCA=

3

3

，
所以∠PCA=30°；
（3）解取PB的中点为G，根据E是PC的中点，可得EG⊥平面PAB，EG=

2

．
V_P-ABE=V_E-PAB=

1

3

×

1

2

×2×2×

2

=

2 2

3

．