Question

已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2?a3=45，a1+a4=14．（1）求数列{an}的通项公式；

已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2?a3=45，a1+a4=14．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2nan（n∈N+），求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设Fn=（4n-5）?2n+1，试比较Fn与Tn的大小．

Answer 1

（1）由已知可得

(a1+d)(a1+2d)=45 2a1+3d=14

（d＞0）解得：

a1=1 d=4

．
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3…（4分）
（2）∵b_n=2ⁿa_n=（4n-3）?2ⁿ，
∴T_n=1?2¹+5?2²+9?2³+…+（4n-7）?2^n-1+（4n-3）?2ⁿ，①
2T_n=1?2²+5?2³+…+（4n-11）?2^n-1+（4n-7）?2ⁿ+（4n-3）?2ⁿ⁺¹，②
①-②得：
-T_n=2+4（2²+2³+…+2ⁿ）-（4n-3）?2ⁿ⁺¹
=2+4?

22(1-2n-1)

1-2

-（4n-3）?2ⁿ⁺¹
=2+4?2ⁿ⁺¹-16-（4n-3）?2ⁿ⁺¹
=-（4n-7）?2ⁿ⁺¹-14
∴T_n=（4n-7）?2ⁿ⁺¹+14…（9分）
（3）∵F_n-T_n=（4n-5）?2ⁿ⁺¹-（4n-7）?2ⁿ⁺¹-14=2ⁿ⁺²-14，
∴当n≥2时，2ⁿ⁺²≥2⁴=16＞14，即2ⁿ⁺¹-14＞0，故F_n＞T_n；
当n=1时，2ⁿ⁺²=2³=8＜14，即2ⁿ⁺¹-14＜0，故F_n＜T_n．
综上所述，当n=1时，F_n＜T_n；当n≥2时，F_n＞T_n…（13分）