Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过F作AB

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交⊙O于G，连接GE．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若tan∠G=43，BE=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求AP的长．

Answer 1

解答：（1）证明：连结OD．
∵DE⊥AD，
∴AE是⊙O的直径，即O在AE上．
∵AD是角平分线，
∴∠1=∠2．
∵OA=OD，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴OD∥AC．
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵OD∥AC，
∴∠4=∠EAF．
∵∠G=∠EAF，
∴∠4=∠G．
∴tan∠4=x=tan∠G=

4

3

．
设BD=4k，则OD=OE=3k．
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3k）²+（4k）²=（3k+2）²，
解得，k₁=1，k₂=-

1

4

（舍），（注：也可由OB=5k=3k+2得k=1），
∴⊙O的半径为3．
（3）解：设FG与AE的交点为M，连结AG，则∠AGE=90°，∠EGM=∠5．
∴tan∠5=tan∠EGM=

4

3

，即

GM

AM

＝

EM

GM

＝

4

3

．
∴

AM

EM

＝

9

16

，
∴AM=

9

25

AE=

54

25

．
∵OD∥AC，
∴

OD

AC

＝

OB

AB

，

CD

AO

＝

DB

OB

，即

3

AC

＝

5

8

，

CD

3

＝

4

5

．
∴AC＝

24

5

，CD=

12

5

．
∵∠1=∠2，∠2=∠AMP=90°，
∴△ACD∽△AMP．
∴

PM

AM

＝

CD

AC

＝

1

2

，
∴PM=

1

2

AM=

27

25

．
∴AP=

PM2+AM2

＝

27

25

5

．