Question

在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线3x+y-4=0相切，则圆C面积的最

在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线3x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为25π25π．

Answer 1

∵AB为直径，∠AOB=90°，
∴O点必在圆C上，
由O向直线3x+y-4=0做垂线，垂足为D，
则当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，
此时圆的直径为O（0，0）到直线3x+y-4=0的距离d=

4

10

，
∴此时圆的半径r=

1

2

d=

2

10

，
∴圆C面积最小值S_min=πr²=π(

2

10

)2=

2

5

π．
故答案为：

2

5

π．