Question

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）．

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）．①若ab＞c2，则C＜π3； ②若（a+b）c＜2ab，则C＞π2；③若a3+b3=c3，则C＜π2；④若a+b＞2c，则C＜π3；⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＞π3．

Answer 1

①∵a²+b²≥2ab，
∴由余弦定理得cosC=

a2+b2?c2

2ab

，
∵ab＞c²，
∴-c²＞-ab，
∴cosC=

a2+b2?c2

2ab

＞

2ab?ab

2ab

=

1

2

，即0＜C＜

π

3

，选项①正确；
②取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab，得C为锐角，选项②错误；
③假设C≥

π

2

，则c²≥a²+b²，
∴c³≥ca²+cb²＞a³+b³，与a³+b³=c³矛盾，
∴假设不成立．即C＜

π

2

成立，选项③正确；
④∵a+b＞2c，
∴（a+b）²＞4c²，即c²＜

(a+b)2

4

，
∴cosC=

a2+b2?c2

2ab

＞

2ab?ab

2ab

＝

1

2

，即0＜C＜

π

3

，选项④正确；
⑤由已知条件（a²+b²）c²＜2a²b²，得：c2＜

2a2b2

a2+b2

≤

2a2b2

2ab

＝ab，
由余弦定理得：cosC=

a2+b2?c2

2ab

＞

2ab?ab

2ab

＝

1

2

，
∴0＜C＜

π

3

，命题⑤错误．
则命题正确的是①③④．
故答案为：①③④．