Question

雨滴在空中下落时，由于空气阻力的影响，最终会以恒定的速度匀速下降，我们把这个速度叫做收尾速度．研究

雨滴在空中下落时，由于空气阻力的影响，最终会以恒定的速度匀速下降，我们把这个速度叫做收尾速度．研究表明，在无风的天气条件下，空气对下落雨滴的阻力可由公式f=12CρSv2来计算，其中C为空气对雨滴的阻力系数（可视为常量），ρ为空气的密度，S为雨滴的有效横截面积（即垂直于速度v方向的横截面积）．假设雨滴下落时可视为球形，且在到达地面前均已达到收尾速度．每个雨滴的质量均为m，半径均为R，雨滴下落空间范围内的空气密度为ρ0，空气对雨滴的阻力系数为C0，重力加速度为g．（1）求雨滴在无风的天气条件下沿竖直方向下落时收尾速度的大小；（2）若根据云层高度估测出雨滴在无风的天气条件下由静止开始竖直下落的高度为h，求每个雨滴在竖直下落过程中克服空气阻力所做的功；（3）大量而密集的雨滴接连不断地打在地面上，就会对地面产生持续的压力．设在无风的天气条件下雨滴以收尾速度匀速竖直下落的空间，单位体积内的雨滴个数为n（数量足够多），雨滴落在地面上不反弹，雨滴撞击地面时其所受重力可忽略不计，求水平地面单位面积上受到的由于雨滴对其撞击所产生的压力大小．

Answer 1

（1）设雨滴竖直下落的收尾速度大小为v，
雨滴达到收尾速度时开始匀速下落  mg=f
又因为f＝仿渗

1

2

C0ρ0Sv2＝

π

2

C0ρ0R2v2
解棚此得  v＝

1

R

2mg πC0ρ0

（2）设雨滴在空中由静止沿竖直方向下落至地面的过程克服空气阻力所做功为W_f，
依据动能定理有 mgh?Wf＝

1

2

mv2
解得Wf＝mg(h?

m

πC0ρ0R2

)，
（3）取横截面积为S、高度H=vt的柱状体积内的雨滴为研究对象，它所含雨滴的总质量为M=nSHm
设柱状体积内的雨滴受到水平地面单位面积上的作用力大小为F，竖直向上为正方向
根据动量定理有  FSt=Mv
解得  F＝

2nm2g

πC0ρ0R2

根链大迅据牛顿第三定律，水平地面的单位面积上受到的由于雨滴对其撞击所产生的压力大小为p′＝

2nm2g

πC0ρ0R2

．
答：（1）雨滴在无风的天气条件下沿竖直方向下落时收尾速度的大小为

1

R

2mg πC0ρ0

．
（2）每个雨滴在竖直下落过程中克服空气阻力所做的功为mg(h?

m

πC0ρ0R2

)．
（3）水平地面单位面积上受到的由于雨滴对其撞击所产生的压力大小为

2nm2g

πC0ρ0R2

．