如图,已知椭圆C:x²/a²﹢y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2,以椭圆C的左顶点

如图,已知椭圆C:x²/a²﹢y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2,以椭圆C的左顶点T为圆心做圆T:(x+2)²... 如图,已知椭圆C:x²/a²﹢y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2,以椭圆C的左顶点T为圆心做圆T:(x+2)²﹢y²=r²(r>0),设椭圆C交于点M与点N。
⑴求椭圆C的方程。 x²/4﹢y²=1
⑵求向量TM乘向量TN的最小值,并求此时圆T的方程;
为什么不能联立圆和椭圆的方程求出M,N点横坐标,带入椭圆方程算出纵坐标?求出的点不再椭圆上。要是能求出来就是定值,没有最小值。答案上是设的M,N点坐标(x₁,y₁)(x₁,﹣y₁)算向量乘积,再把y₁²用椭圆方程表示的。
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zssasa1991
2012-06-04 · TA获得超过4274个赞
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由对称性设M(x1,y1) N(x1,-y1)
所以TM*TN=(x1+2,y1)*(x1+2,-y1)=(x1+2)^2-y1^2=(x1+2)^2-1+x^2/4
=5/4x1^2+4x1+3=5/4(x1^2+16/5x1)+3=5/4(x1+8/5)^2-1/5
-2<=x1<=2,所以x1=-8/5时,取得最小值
所以y1=3/5
代入圆的方程可以知道:r=√13/5

你的思路很好,联立椭圆方程和圆的方程,消去y:
(x+2)^2+(1-x^2/4)=r^2
3x^2+16x+4(5-r^2)=0
这里r是未知数,求不出x的具体值,所以TM*TN不是定值

也不要认为这里求出来的x的两个根就是是M、N的横坐标
而是其中一个根是M、N的横坐标,其中一个根是另外两个交点的根
在这个图上面发现只有两个交点是因为,求出来的两外一个根x2,代入到椭圆方程时,y没有解
例如上述求出的r=√13/5
代入3x^2+16x+4(5-r^2)=0,就是3x^2+16x+448/25=0
x1=-8/5 x2=-56/15<-2所以x2对应的点不在椭圆上,是增根

所以最好不要用二次或已上的方程联立求交点,因为不知道一个x(y)对应多少个不同的点,而且解出来的根还要验证是不是增根

当然已上说的和这题没什么关系,主要是联立求不出来x的值
追问
联立之后得到3/4x²﹢4x﹢5﹣r²=0,2x₁=﹣b/a=﹣16/3但是x=﹣8/3不在椭圆上。
追答
我在上面说了,不知道你看清楚了没

不要认为这里求出来的x的两个根就是是M、N的横坐标
所以不能用2x=-16/3来求x
而是其中一个根是M、N的横坐标,其中一个根是另外两个交点的根

根据方程3/4x²﹢4x﹢5﹣r²=0,求出的两个x,每个x代回到椭圆方程,都可以对应0或1或2个y值。
西域牛仔王4672747
2012-06-04 · 知道合伙人教育行家
西域牛仔王4672747
知道合伙人教育行家
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毕业于河南师范大学计算数学专业,学士学位, 初、高中任教26年,发表论文8篇。

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联立求坐标在解析几何中不是不能用,而是很少使用,因为运算量大,易出错。
通常是按答案给出的那样,设点的坐标,表示出所求的量(本题中是两个向量的数量积),
然后再利用已知条件(就是坐标满足的等式)化简。
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匿名用户
2012-06-04
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热烈且锐利灬比目鱼6832
2012-06-04 · TA获得超过6万个赞
知道大有可为答主
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