Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1-x）

（1）求函数的解析式，并画出函数图像
（2）写出函数的单调区间及值域

Answer 1

这类题有很强的规律性

1）借用x>=0的解析式求x<0的解析式，方法如下

    设x<0,(注意总是设要求的那部分x), 则-x>0

则f(-x)=(-x)(1-x)=-x(1-x)         ----(1)

2) 又因为f(x)为奇函数，所以f(x)=-f(-x)      ---(2)

则（1）式可变为  -f(x)=-x(1-x)    (x<0)

                         f(x)=x(1-x)     (x<0)

3)综合。写成分段函数

    f(x)=x(1+x)  (x>=0)

            x(1-x)  (x<0)

2。单调递增    值域为全体实数

Answer 2

1)
令x<0,则-x>0
f(-x)=-x(1+x)
f(x)时定义在R上的奇函数
f(x)=-f(-x)=x(1+x)
画出f(x)=x(1+x)和f(x)=x(1-x)去掉f(x)=x(1+x)在y轴右侧和f(x)=x(1-x)在y轴左侧图像
2)
f(x)在(1/2,+∞),(-∞,-1/2)上单调递减
在(-1/2,1/2)上单调递增
f(x)的值域为R

Answer 3

追问

值域是什么？