Question

等腰梯形ABCD中，AB平行BC，M、N为AD、BC中点，E、F为BD、CA中点，求证：MN垂直EF

Answer 1

证明：连接ME,EN,NF,MF
因为ABCD是等腰梯形
所以AB=CD
因为M,E分别是AD,BD的中点
所以ME是三角形ABD的中位线
所以ME=1/2AB
N,F分别是BC,AC的中点
所以NF是三角形ABC的中位线
所以NF=1/2AB
所以ME=NF
同理可证：NE=NF=MF
所以ME=NE=NF=MF
所以四边形MENF是菱形
所以MN垂直EF

Answer 2

证明：
∵M为AD的中点，E是BD的中点
∴ME是△ABD的中位线
∴ME∥AB，ME=1/2AB
同理NF∥AB，NF=1/2AB
∴ME∥NF，ME=NF
∴四边形MENF是平行四边形
∵MF是△ACD的中位线
∴MF=1/2CD
∵AB=CD
∴ME=MF
∴平行四边形MENF是菱形
∴MN⊥EF