Question

罗尔定理例题

设函数f（x）可导，x1,x2是f（x）=0的根，x1<x2,求证区间（x1,x2）内必有方程f（x）+f'（x）=0的根

Answer 1

解：
设g(x)=e^x*f(x),则g'(x)=e^x*f(x)+e^x*f'(x)=e^x*(f(x)+f'(x))

g(x)在[x1,x2]上连续，在（x1,x2）内可导，g(x1)=g(x2)=0
所以存在x属于（x1,x2）使g'(x)=e^x*(f(x)+f'(x))=0
又因为e^x不等于0
所以区间（x1,x2）内必有方程f（x）+f'（x）=0的根

Answer 2

构造新函数g(x)=x f(x)