Question

小学奥数求解答！！！！（要有过程哦！）

老师告诉了A、B、C、D、E、F、G七位同学每人一个数字，并要求大家用这七个互不相同的数字组成一个七位数，使得这个七位数能被它的每位数字整除。这七位同学按从左到右的顺序依次排好，组成了七位数ABCDEFG。假设每个同学只知道自己的数字，但是他们都很聪明并且诚实。于是他们依次有了下面的对话：
G说：现在组成的七位数肯定不满足要求。
A、C、E同时说：现在组成的七位数能被老师告诉我的数字整除。
D对G说：我们两交换也肯定不满足要求。
F对G说：我们俩交换下位置，也许就行了。
于是G和F交换了位置，得到了新的七位数ABCDEGF
结果老师一检查，真的满足要求了。
那么，这七个数字的和是（ ），最后组成的七位数ABCDEGF是（ ）。

Answer 1

我的解答比较冗长。希望能够抛砖引玉。
（1）为了方便理解，首先列出能够被1-9整除的数的特征。
1.1任何整数都能够被1整除。
1.2被2整除的数字，末位数是0,2,4,6,8。
1.3能够被3整除的数字，各个位上数字之和能够被3整除。
1.4能够被4整除的数字，末两位数能够被4整除。
1.5能够被5整除的数字，末尾数是0或者5.
1.6能够被6整除的数字，末尾是0、2、4、6、8且各位上数字的和能被3整除
1.7能够被7整除的数字，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
末三法： 这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（反过来也行）能被7、11、13整除。这个数就能被7、11、13整除。
1.8能够被8整除的数字，末三位能够被8整除。
1.9 能够被9整除的数字，各位数字的和能被9整除。

（2）已知条件。
2.1 老师要求大家用这七个互不相同的数字组成一个七位数，使得这个七位数能被它的每位数字整除。这意味着通过调整顺序，一定可以组成这样的七位数。
2.2 A、B、C、D、E、F、G每人有一个不同的数字。且只知道自己的数字。
2.3 他们都很聪明并且诚实，说的都是可以推导出来的实话。
2.4 G说：现在组成的七位数肯定不满足要求。
2.5 A、C、E同时说：现在组成的七位数能被老师告诉我的数字整除。
2.6 D对G说：我们两交换也肯定不满足要求。
2.7 F对G说：我们俩交换下位置，也许就行了。
2.8 G和F交换了位置，得到了新的七位数ABCDEGF。结果老师一检查，真的满足要求了。

（3）开始利用已知条件解答。
3.1 七个数是在1-9中选出的，因为0不能够作为被除数。
3.2 数字1-9含有5个奇数（1,3,5,7,9，姑且认为1是奇数），4个偶数（2,4,6,8）.
选出七个数的话，必然同时有奇数和偶数。因为有偶数，最终的七位数也必然是偶数。加上没有包括数字0，末位是2,4,6,8. 这样的七位数不能够被5整除，因此七个数中不包括5.只能在1,2,3,4,6,7,8,9中选取。
3.3 G说：现在组成的七位数肯定不满足要求。G只知道自己的数字，就作出的推断。由于现在G是这个七位数的末尾，如果G发现自己是奇数，知道该七位数肯定不能被偶数整除，就会下这个结论。因此G必然是奇数，在1,3,7,9中选取。
3.4 A、C、E同时说：现在组成的七位数能被老师告诉我的数字整除。这里要用到条件2.1，“通过调整顺序，一定可以组成这样的七位数。”ACE在不知道其他数字的情况下，独自做出结论，说明他们的数字能否被整除，与七位数的顺序无关。满足这个条件的数字是1（只要是整数都可以被1整除），3（只要七位数各个位置上的数字之和是3的倍数，与顺序无关），9（只要七位数各个位置上的数字之和是9的倍数，与顺序无关）.所以ACE在1,3,9中选取。
3.5 由于G在1,3,7,9中选取，ACE在1,3,9中选取。那么G只能是7.
3.6 此时我们已知G=7，ACE是（1,3,9）。BDF只能在（2,4,6,8）中选择。
3.7 由于该七位数能够被9整除，七个数字之和必然是9的倍数。ACEG之和是1+3+9+7=20.
BDF三个数之和最小是2+4+6=12，最大是4+6+8=18，七个数的和在20+12=32和20+18=38之间。符合（被九整除）条件的数字只能是36.即七个数字之和是36.
那么B+D+F=36-20=16，根据BDF在（2,4,6,8）中选择，可以找出只能是2+6+8=16.
BDF对应（2,6,8）。
3.8 D对G说：我们两交换也肯定不满足要求。此时，D已经推导出G=7。由于D可以是2,4,8. BDF对应（2,6,8）。
如果D=2，那么F是6或者8，DG对换后的七位数的末两位是62或者82.这样的七位数不能被4整除。
如果D=6，那么F是2或者8，DG对换后的七位数的末两位是26或者86. 这样的七位数不能被4整除。
如果D=8，那么F是2或者6，DG对换后的七位数的末两位是28或者68.此时不能判断七位数不满足条件。D不等于8.
所以，D是2或者6.
3.9 目前已知G=7，ACE是（1,3,9）。BDF只能在（2,4,6,8）中选择。其中D是2或者6.
3.10 F对G说：我们俩交换下位置，也许就行了。
F已经知道G=7，F可能是2,6,8.
FG交换后，七位数的末两位是72或76或78.
其中末尾是78时，不能被4整除，不符合条件，因此F不能是8.只能是2或者6.
此时，考虑E，E可能是1,3,9.
可能的末三位数是172,176,372,376,972,976.
这里考虑末三位要能够被8整除。有176，376,976满足这一条件。所以F=6
3.11 F=6，而“D是2或者6”（见3.8），那么D=2
BDF对应（2,6,8）。所以B=8
3.12 目前已知G=7，F=6，D=2，B=8，ACE对应（1,3,9）
3.13 G和F交换了位置，得到了新的七位数ABCDEGF。结果老师一检查，真的满足要求了。
这一步我没有找到便捷的方法，只好把ACE的几种可能性依次试验。因为前面的过程可知，组成的七位数一定能够被1,2,3,6,8,9整除。所以用除以7加以检验。
假如A=1，C=3，E=9，组成新的七位数1832976.除以7，结果不能整除。
假如A=1，C=9，E=3，组成新的七位数1892376.除以7，结果不能整除。
假如A=3，C=1，E=9，组成新的七位数3812976.除以7，结果不能整除。
假如A=3，C=9，E=1，组成新的七位数3892176.除以7，结果不能整除。
假如A=9，C=1，E=3，组成新的七位数9812376.除以7，结果可以整除。
假如A=9，C=3，E=1，组成新的七位数9832176.除以7，结果不能整除。

所以， G=7，F=6，D=2，B=8，A=9，C=1，E=3，
七个数字之和是36，最后组成的七位数ABCDEGF是9812376。

Answer 2

这七个数字分别是：1,2,3,6,7,8,9，它们的和是36
最后组成的七位数是几还没想好