Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E为AC中点，ED延长线交AB延长线于F，求证AB/AC=DF/AF

Answer 1

在RT△ADB和RT△CAD中，∠BAD＋∠DAC＝∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠DAC＝∠ABDF，同理∠BAD＝∠ACD，∴RT△ADB∽RT△CAD，∴AB/AC=BD/AD。
在RT△ADC中，E是AC的中点，∴∠ACD＝∠EDC，∵∠EDC＝∠BDF，∠ACD＝∠BAD∴∠BAD＝∠BDF。在△ADF和△DBF中，∵∠BAD＝∠BDF，∠AFD是公共角，∴△ADF∽△DBF，∴BD/AD=DF/AF，∵AB/AC=BD/AD，∴AB/AC=DF/AF。

Answer 2

证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴△CBA∽△ABD，
∴AB/BD=AC/AD，
∴AB：AC=BD：AD①，
∴∠C=∠FAD，
又E为AC的中点，AD⊥BC，
∴ED=1/2AC=EC，
∴∠C=∠EDC，
又∠EDC=∠FDB，
∴∠FAD=∠FDB，∠F为公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD=DF：AF②，
由①②得，AB/AC=DF/AF．