Question

已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若 AB =λ

已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若 AB =λ AE （λ＞0）， AC =μ AF (μ＞0) ，则 1 λ + 4 μ 的最小值是______．

Answer 1

由题意可得 AB + AC =2 AD ，即 λ AE +μ AF =2 AD ， 故 AD = λ 2 AE + μ 2 AF ，由D、E、F在同一条直线上，故 λ 2 + μ 2 =1 所以 1 λ + 4 μ =（ 1 λ + 4 μ ）（ λ 2 + μ 2 ）= 5 2 + 2λ μ + μ 2λ 因为λ＞0，μ＞0由基本不等式可得 5 2 + 2λ μ + μ 2λ ≥ 5 2 +2 2λ μ ? μ 2λ = 9 2 当且仅当 2λ μ = μ 2λ ，即μ=2λ时取等号． 故答案为： 9 2