Question

设正项数列{a n }的前n项和是S n ，若{a n }和{ S n }都是等差数列，且公差相等，则a

设正项数列{a n }的前n项和是S n ，若{a n }和{ S n }都是等差数列，且公差相等，则a 1 +d=______．

Answer 1

由题意知数列{a n }的首项为a 1 ，公差为d． 因为数列{a n }的前n项和是S n ， 所以 S 1 = a 1 ， S 2 = 2 a 1 +d ， S 3 = 3 a 1 +3d ． 又{ S n }也是公差为d的等差数列， 则 S 2 = 2 a 1 +d = a 1 +d ，两边平方得： 2 a 1 +d= a 1 +2d a 1 + d 2 ① S 3 = 3 a 1 +3d = a 1 +2d ，两边平方得： 3 a 1 +3d= a 1 +4d a 1 +4 d 2 ② ②-①得： a 1 =-2d+2d a 1 +3 d 2 ③， 把③代入①得：d（2d-1）=0． 所以d=0或d= 1 2 ． 当d=0时，a 1 =0，不合题意， 当d= 1 2 时，代入③解得 a 1 = 1 4 ． 所以 a 1 +d= 1 4 + 1 2 = 3 4 ． 故答案为 3 4 ．